一、对数是怎么被"逼"出来的
先看一个简单问题：2 的几次方等于 8？答案是 3，因为 2³＝8。再看：2 的几次方等于 5？这个数确实存在（介于 2 和 3 之间），但它不是一个整数，也不是分数，用已有的符号写不出来。
数学家于是给它一个新名字。一般地，如果 aˣ＝N（a＞0 且 a≠1，N＞0），那么 x 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作
x ＝ logₐN
其中 a 叫底数，N 叫真数。这个定义只做了一件事：把"指数"从指数式的右边解放出来，让它能单独表示。所以对数和指数是互逆运算：
aˣ＝N ⟺ x＝logₐN
三条使用纪律，每年都有人栽在这里：
- 底数 a＞0 且 a≠1（等于 1 时 aˣ 恒为 1，反解不唯一；为负时指数式无意义）。
- 真数 N＞0。指数式 aˣ 的值永远是正数，所以真数不能是 0 或负数。
- 两个常用记号：lg N 表示 log₁₀N（常用对数），ln N 表示 log_eN（自然对数，e≈2.718）。
例题1：把下列指数式化为对数式。①3⁴＝81 ②2⁻³＝1/8 ③10⁰＝1。 解：①log₃81＝4；②log₂(1/8)＝－3（注意真数是正分数）；③lg1＝0。
例题2：求 log₄16、log₉(1/3)、log_√2 8 的值。 解：设 log₄16＝x，则 4ˣ＝16＝4²，x＝2。 设 log₉(1/3)＝x，则 9ˣ＝1/3，即 3^{2x}＝3⁻¹，x＝－1/2。 设 log_√2 8＝x，则 (√2)ˣ＝8，即 2^{x/2}＝2³，x/2＝3，x＝6。
本题的方法叫"化为同底"——把两边都写成同一个底数的幂，再比较指数。这是对数运算的通用思路。
二、运算法则及其来源
对数法则不是背下来的，它们全部来自指数幂的运算：
设 logₐM＝m，logₐN＝n，则 M＝aᵐ，N＝aⁿ。
乘法：MN＝aᵐ·aⁿ＝a^{m+n}，于是 logₐ(MN)＝m＋n＝logₐM＋logₐN。 除法：M/N＝aᵐ/aⁿ＝a^{m－n}，于是 logₐ(M/N)＝logₐM－logₐN。 乘方：Mᵏ＝(aᵐ)ᵏ＝a^{mk}，于是 logₐMᵏ＝k·logₐM。
三条法则合起来，使"乘除"变成"加减"，"乘方"变成"乘"。这正是对数在历史上被发明的原因——它把大数运算降了一级。今天计算尺早已淘汰，但法则本身仍是高中必考内容。
特别提醒三个"错误等式"： logₐ(M＋N) ≠ logₐM＋logₐN（这是最常见的错）； logₐ(MN) ≠ logₐM·logₐN； logₐM/logₐN ≠ logₐ(M/N)。
换底公式（所有底数统一的关键）： logₐb ＝ log_c b / log_c a（c＞0，c≠1）
由它得到两个常用推论：logₐb·log_b a＝1；log_{aᵏ}bᵐ＝(m/k)·logₐb。
例题3：计算 (lg2)²＋lg2·lg50＋lg25。 解：设 lg2＝a，则 lg5＝1－a，lg50＝lg(10×5)＝1＋lg5＝2－a，lg25＝2lg5＝2(1－a)。 原式＝a²＋a(2－a)＋2(1－a)＝a²＋2a－a²＋2－2a＝2。 （若用小数验证：0.0906＋0.5114＋1.3979≈2，与精确值一致。）
例题4：计算 log₂3·log₃4·log₄5·log₅6。 解：用换底公式，把全部换成常用对数： 原式＝(lg3/lg2)(lg4/lg3)(lg5/lg4)(lg6/lg5)＝lg6/lg2＝log₂6＝1＋log₂3。 更快的看法：相邻的分子分母依次约掉，只剩下"末底"与"首底"，即 log₂6。这种"链式约分"是对数乘积题的固定套路。
三、对数函数的图像与性质
函数 y＝logₐx（a＞0，a≠1）叫对数函数，定义域 (0,＋∞)，值域 R。它与 y＝aˣ 互为反函数，图像关于直线 y＝x 对称。
a＞1 时：在 (0,＋∞) 上单调递增；图像过定点 (1,0)；x→0⁺ 时 y→－∞（y 轴是渐近线）。 0＜a＜1 时：在 (0,＋∞) 上单调递减；同样过 (1,0)；x→0⁺ 时 y→＋∞。
三个必记要点：定义域永远只有正数；恒过 (1,0)，即 logₐ1＝0；单调性由底数决定，与真数无关。
例题5：求函数 y＝log_{x－1}(3－x) 的定义域。 解：三重限制同时成立： 底数大于 0 且不等于 1：x－1＞0 且 x－1≠1，即 x＞1 且 x≠2； 真数大于 0：3－x＞0，即 x＜3。 取交集得 1＜x＜3 且 x≠2，即定义域为 (1,2)∪(2,3)。 只写 x＜3 或漏掉 x≠2 的，都是被扣分的典型。
四、比较大小：三类题型，三个入口
比较对数大小是本节最高频的考法，按"底、真是否相同"分三类。
第一类：同底不同真。用单调性。例：比较 log₂3 与 log₂5。底 2＞1，递增，3＜5，所以 log₂3＜log₂5。
第二类：同真不同底。用图像或换底后比较。例：比较 log₂5 与 log₃5。两者都＞1（真数 5 大于底数），换成倒数：log₂5＝1/log₅2，log₃5＝1/log₅3，而 log₅2＜log₅3，分母小的反而大，所以 log₂5＞log₃5。
第三类：底真都不同。找中间量 0 或 1。 例题6：把 log₂3、log₃2、log_{1/2}3 从小到大排列。 解：log₂3＞log₂2＝1（因为 3＞2，递增）； 0＜log₃2＜log₃3＝1； log_{1/2}3：底 1/2＜1，递减，真数 3＞1，所以 log_{1/2}3＜log_{1/2}1＝0，为负数。 排序：log_{1/2}3 ＜ log₃2 ＜ log₂3。
判断符号的口诀：把真数与 1 比较、把底数与 1 比较，两个"＞1"或两个"＜1"得正，否则为负。这条规则来自 logₐN 的符号规律，做填空、选择题时比画图快得多。
五、练习
- 计算：log₃27＋lg100＋ln e²。
- 化简：2log₅10＋log₅0.25。
- 求 y＝log₂(x²－2x－3) 的定义域与单调递增区间。
- 比较 log₀.₃2 与 log₀.₃0.5 的大小。
- 已知 logₐ3＜1，求 a 的取值范围。
参考答案： 1. log₃27＝3，lg100＝2，ln e²＝2，和为 7。 2. 2log₅10＝log₅100，log₅100＋log₅0.25＝log₅25＝2。 3. 需 x²－2x－3＞0，即 (x－3)(x＋1)＞0，定义域 (－∞,－1)∪(3,＋∞)；内层 u＝x²－2x－3 在 (3,＋∞) 上递增，外层 log₂u 递增，故递增区间为 (3,＋∞)。 4. 底 0.3＜1，递减，2＞0.5，所以 log₀.₃2＜log₀.₃0.5。 5. 分类讨论：a＞1 时，logₐ3＜1＝logₐa，递增得 3＜a；0＜a＜1 时，递减得 3＞a，自动成立。综上 0＜a＜1 或 a＞3。
对数这一章的难点从来不是公式多，而是"定义域意识"和"分类讨论意识"不够。做题时先问两句：真数正不正？底数比 1 大还是小？问完这两句，绝大多数陷阱就已经避开了。