高三数学：导数的应用——单调性与极值

系统讲解利用导数判断函数单调性、求极值和最值的方法，包含典型例题和高考真题，帮助高三同学掌握导数应用的核心题型。

知识点讲解

导数是高中数学的核心内容之一，也是高考的必考点和大题常考题型。导数最主要的两大应用——判断单调性和求极值，是解决所有导数类问题的基础。

一、导数与函数的单调性

定理： 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导，则： - 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递增。 - 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递减。 - 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x) = 0$ 恒成立，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上为常数函数。

解题步骤： 1. 求定义域（非常重要！很多同学漏掉这一步） 2. 求导 $f'(x)$ 3. 令 $f'(x) = 0$，解出临界点 4. 用临界点划分区间，列表判断各区间 $f'(x)$ 的符号 5. 写出单调区间

二、导数与函数的极值

极值的概念： - 极大值： 若存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 且 $x \neq x_0$，都有 $f(x) < f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为极大值。 - 极小值： 若存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 且 $x \neq x_0$，都有 $f(x) > f(x_0)$，则 $f(x_0)$ 为极小值。

极值的判断方法： 若 $f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0)$ 存在： - $f''(x_0) < 0 \Rightarrow x_0$ 为极大值点 - $f''(x_0) > 0 \Rightarrow x_0$ 为极小值点

或用列表法（一阶导数符号变化法）： - 左正右负 $\Rightarrow$ 极大值点 - 左负右正 $\Rightarrow$ 极小值点 - 左右同号 $\Rightarrow$ 不是极值点

三、函数的最值

闭区间 $[a,b]$ 上最值的求法： 1. 求 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的所有极值 2. 计算端点值 $f(a)$ 和 $f(b)$ 3. 比较所有极值和端点值，最大者为最大值，最小者为最小值

注意：极值和最值的区别 - 极值是局部概念，最值是全局概念 - 极值不一定是最值，最值不一定是极值（端点最值）

例题解析

【典型例题】

例1： 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的单调区间和极值。

解： ① 定义域：$(-\infty, +\infty)$

② 求导：$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$

③ 令 $f'(x) = 0$，解得 $x_1 = -1$，$x_2 = 3$

④ 列表分析：

⑤ 单调递增区间：$(-\infty,-1)$ 和 $(3,+\infty)$ 单调递减区间：$(-1,3)$

⑥ 极大值：$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ 极小值：$f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$

【高考真题】

例2（2022年全国甲卷·理）： 已知函数 $f(x) = \ln x + ax$，求 $f(x)$ 的单调区间。

解： ① 定义域：$(0, +\infty)$

② 求导：$f'(x) = \frac{1}{x} + a$

③ 分类讨论：

情况一：若 $a \geq 0$，则 $f'(x) = \frac{1}{x} + a > 0$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立 $\Rightarrow f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增

情况二：若 $a < 0$，令 $f'(x) = 0$，得 $\frac{1}{x} + a = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{a}$

$\Rightarrow f(x)$ 在 $(0, -\frac{1}{a})$ 上单调递增，在 $(-\frac{1}{a}, +\infty)$ 上单调递减

答案： $a \geq 0$ 时递增区间为 $(0, +\infty)$；$a < 0$ 时递增区间为 $(0, -\frac{1}{a})$，递减区间为 $(-\frac{1}{a}, +\infty)$。

知识归纳表

趣味练习

课后作业

基础题（必做）

1. 求下列函数的单调区间和极值：
2. (1) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$
3. (2) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$

4. (3) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 2$

5. 在区间 $[-2,4]$ 上求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ 的最大值和最小值。

提高题（选做）

1. 已知函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 $4$，在 $x = -1$ 处取得极小值 $0$，求 $a,b,c$ 的值。

2. 设函数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx$ 在 $x = 2$ 处有极值，且 $f(2) = 4$，求 $a,b$ 的值。

挑战题（拓展）

1. 已知函数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c$ 在 $x = -1$ 处取得极大值，在 $x = 2$ 处取得极小值，且极大值比极小值大 $27$。
2. (1) 求 $a,b$ 的值
3. (2) 设 $f(x)$ 的极小值为 $-3$，求 $c$ 的值及 $f(x)$ 的极大值

导数应用深入讲解与综合题型

四、导数的几何意义——切线问题

导数的几何意义是高考的又一高频考点。

定义： 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 等于函数图像在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。

切线方程： $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

典型题型：

1. 已知切点求切线： 直接利用导数求斜率，代入点斜式方程。
2. 未知切点求切线（过某点）： 设切点为 $(x_0, f(x_0))$，利用导数求斜率，再代入已知点求解。
3. 公切线问题（两条曲线）： 设两个切点，分别求切线方程，令它们相等。

五、典型例题精讲

例3（过点的切线问题）： 求过点 $(2, 4)$ 且与曲线 $f(x) = x^3$ 相切的直线方程。

解： 设切点为 $(t, t^3)$，则 $f'(t) = 3t^2$

切线方程：$y - t^3 = 3t^2(x - t)$

由于切线过点 $(2, 4)$，代入得： $4 - t^3 = 3t^2(2 - t)$ $4 - t^3 = 6t^2 - 3t^3$ $4 - t^3 - 6t^2 + 3t^3 = 0$ $4 - 6t^2 + 2t^3 = 0$ $2t^3 - 6t^2 + 4 = 0$ $t^3 - 3t^2 + 2 = 0$

因式分解：$(t - 1)(t^2 - 2t - 2) = 0$

解得 $t = 1$ 或 $t = 1 \pm \sqrt{3}$

所以切线有三条： - $t = 1$：$y - 1 = 3(x - 1)$，即 $y = 3x - 2$ - $t = 1 + \sqrt{3}$：斜率 $k = 3(1 + \sqrt{3})^2$，代入得另一条切线 - $t = 1 - \sqrt{3}$：同理可得第三条切线

注意： 很多同学看到"过点"会误以为该点就是切点，一定要注意区分"在点处"和"过点"！

六、导数综合应用——与参数结合

例4（含参讨论）： 已知函数 $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3x$，讨论 $f(x)$ 的单调性。

解： $f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3 = 3(x^2 - 2ax + 1)$

令 $f'(x) = 0$，即 $x^2 - 2ax + 1 = 0$

判别式 $\Delta = 4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1)$

情况一： 当 $|a| \leq 1$，即 $-1 \leq a \leq 1$ 时 $\Delta \leq 0$，$f'(x) \geq 0$ 恒成立 $\Rightarrow f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上单调递增

情况二： 当 $a > 1$ 时 $\Delta > 0$，$f'(x) = 0$ 有两个根：$x = a \pm \sqrt{a^2 - 1}$

$f'(x) > 0$ 在 $(-\infty, a - \sqrt{a^2 - 1})$ 和 $(a + \sqrt{a^2 - 1}, +\infty)$ 上 $f'(x) < 0$ 在 $(a - \sqrt{a^2 - 1}, a + \sqrt{a^2 - 1})$ 上

$\Rightarrow f(x)$ 在 $(-\infty, a - \sqrt{a^2 - 1})$ 上递增，在 $(a - \sqrt{a^2 - 1}, a + \sqrt{a^2 - 1})$ 上递减，在 $(a + \sqrt{a^2 - 1}, +\infty)$ 上递增

情况三： 当 $a < -1$ 时 $\Delta > 0$，同理可得单调区间与情况二对称。

七、导数与函数图像的关系

八、常见误区与避坑指南

误区1： $f'(x) > 0$ 是 $f(x)$ 单调递增的充分不必要条件。 反例： $f(x) = x^3$，$f'(0) = 0$，但 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。 ✅ 正解： $f'(x) \geq 0$ 且 $f'(x) = 0$ 只在孤立点成立，则 $f(x)$ 单调递增。

误区2： 极值点处导数一定为0。 反例： $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处有极小值，但不可导。 ✅ 正解： 可导函数的极值点导数一定为0，但不可导的点也可能有极值。

误区3： 导数不存在的点一定不是极值点。 ✅ 正解： 导数不存在的点（如尖点）也可能取得极值。

误区4： 单调区间用"$\cup$"连接。 ✅ 正解： 多个单调区间之间用"，"分隔，不能用"$\cup$"！因为$\cup$表示并集，而函数在不同区间上的单调性不能直接合并。例如 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减，但不能说在 $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$ 上递减。

九、高考真题实战

2023年全国甲卷理科第21题（导数大题）：

已知函数 $f(x) = e^x - ax - 1$，其中 $a \in \mathbb{R}$。 (1) 讨论 $f(x)$ 的单调性。 (2) 若 $f(x) \geq 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围。

思路点拨： (1) $f'(x) = e^x - a$，当 $a \leq 0$ 时 $f'(x) > 0$；当 $a > 0$ 时，令 $f'(x) = 0$ 得 $x = \ln a$

(2) 恒成立问题转化为求 $f(x)$ 的最小值 $\geq 0$ 当 $a \leq 0$ 时，$f(x)$ 单调递增，$x \to -\infty$ 时 $f(x) \to -\infty$，不满足条件 当 $a > 0$ 时，$f(x)$ 在 $x = \ln a$ 处取得最小值 $f(\ln a) = a - a\ln a - 1$ 令 $a - a\ln a - 1 \geq 0$，解得 $a = 1$

答案： $a = 1$

十、课后补充练习答案

基础题答案： 1. (1) 递增：$(-\infty,1)$ 和 $(3,+\infty)$，递减：$(1,3)$；极大值 $f(1)=5$，极小值 $f(3)=1$ (2) 递增：$(-\infty,-1)$ 和 $(2,+\infty)$，递减：$(-1,2)$；极大值 $f(-1)=12$，极小值 $f(2)=-15$ (3) 递增：$(-\infty,-3)$ 和 $(1,+\infty)$，递减：$(-3,1)$；极大值 $f(-3)=29$，极小值 $f(1)=-3$ 2. 最大值 $f(4)=21$，最小值 $f(3)=-22$

提高题答案： 3. $a = 1$，$b = -1$，$c = -3$ 4. $a = 2$，$b = 4$